상대론적 역학

Relativistic Dynamics
특수 상대성 이론에서 다루어지는 역학. 로런츠 불변성과 같은 원리에서 도출된다.

3차원의 경우에서 속도는 $x$ 성분만으로는 부족하고 총 세 개의 성분이 필요하다. 한편 상대성 이론 아래에선 네 개의 성분이 필요하다. 로런츠 불변성을 고려할 때, 뭐가 좋을까? 사실 속도의 경우 딱히 적당한 값은 없다. 아니 사실 우리가 뉴턴 역학에서 알고 있던 그 속도는 상대성 이론에서 올바른 벡터가 되기 힘들다. 다만 그 속도가 $\gamma$를 곱해 주면 이야기가 달라진다. 그리고 여기서 0번째 성분을 $c\gamma$로 잡아주면, 이렇게 해서 얻은 네 성분들은 상대성 이론에서의 잘 정의된 벡터가 될 수 있다. 즉,

$u^\mu = (c\gamma, \gamma v_x, \gamma v_y, \gamma v_z) \;\;\; (\gamma = \dfrac{1} {\sqrt{1 - \dfrac{{v_x}^2 + {v_y}^2 + {v_z}^2} {c^2}}})$

는 잘 정의된 사차원 벡터임을 확인할 수 있다. 이 벡터를 가리켜 사차원 속도 벡터라고 부른다. 사실 이 벡터는 이렇게 정의된 것과 똑같다.

$u^\mu = \dfrac{dx^\mu}{d \tau}$

여기서 $\tau$는 고유 시간(proper time)으로, 해당 속도와 나란히 달리는 계에서 흐른 시간을 나타낸다. 고유 시간이 상대론에서 스칼라라는 것을 보일 수 있는데, 이 때문에 저 양은 로런츠 변환을 잘 만족한다는 것을 바로 알 수 있다.

한편, 4차원 속도 벡터에 정지 질량(고유 질량)을 곱해 보자.[1] 이를 다음과 같이 표기하겠다.

$p^\mu = mu^\mu = m \dfrac{dx^\mu}{d \tau} = (\gamma mc, \gamma mv_x, \gamma mv_y, \gamma mv_z)$

이를 가리켜 사차원 운동량 벡터라고 부른다. 이것이 왜 운동량이라고 불리는지는 속도의 크기가 $c$에 비해 무척 작을 때 저 식을 근사해 보는 것으로 확인할 수 있다. $x$ 성분과 0-성분만 보자. 여기서 $\dfrac v c$의 3차 이상의 항들을 모두 무시하면 다음을 얻는다.

$\begin {aligned} \gamma mv_x & = \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac {v^2} {c^2}}} mv_x \\ & = \left(1 + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{v^2}{c^2} + \left( \dfrac{v^2}{c^2} \right)^2 + \cdots \right) mv_x \\ & \approx mv_x \end {aligned}$
$\begin {aligned} \gamma mc & = \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac {v^2} {c^2}}} mc \\ & = \left(1 + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{v^2}{c^2} + \left( \dfrac{v^2}{c^2} \right)^2 + \cdots \right) mc \\ & \approx \dfrac{1}{c} \left(mc^2 + \dfrac{1}{2} mv^2 \right) \end {aligned}$

이로부터 $x$, $y$, $z$ 성분들이 뉴턴 역학에서의 운동량과 같으며 4차원 속도 벡터와 마찬가지로 추가 계수($\gamma$)가 붙어야 상대론적이게 된 것으로 볼 수 있었다. 그런데 0-성분은 다르다. 상대론적 운동량을 보려고 했는데, (운동) 에너지가 튀어 나왔다! 즉, 3차원 운동량을 4-벡터로 만들려고 하면 다른 한 물리량(에너지)를 갖다 붙여야 했던 것이다. 이런 식으로 고전 (뉴턴) 역학에서 벡터였던 것이 상대성 이론에서도 벡터이기 위해선 반드시 또다른 물리량을 끌어다 붙여야 한다는 것을 알 수 있다. 물론 이러한 확장이 정말 의미가 있는 것인가는 또 따로 따져 봐야 할 일일 것이다. 예컨대 4차원 운동량 벡터의 경우 저것이 진짜 운동량이라는 것은 여러 가지 방법으로 보일 수 있다. 상대론적 동역학이 그렇게 튀어 나오는 것이다.

상대성 이론이 말해주는 또다른 것은 물리법칙 또한 회전, 즉 로렌츠 변환에 불변이어야 한다는 것이다. 고전 역학에서 뉴턴의 운동 방정식이 그랬던 것처럼, 맥스웰 방정식이 3차원 회전에서 그랬던 것처럼 말이다. 그런데 이러한 제약 조건은 기대보다 훨씬 강력하다. 좀 어려운 이야기를 해 보자. 모든 물리 시스템은 액션(라그랑지안의 시간적분)으로 다뤄진다. 즉, 액션으로부터 모든 물리가 결정되는 셈이다. 이 액션은 스칼라이어야 한다. 여기서 상대성 이론이 강력하게 작용하는 것이다. 사실 원하는 물리량을 다룰 때 그 물리량으로부터 만들어낼 수 있는 (로렌츠 변환에서의) 스칼라는 정말 별로 없다. 점입자의 경우, 그 입자의 고유 시간을 들 수 있으며, 이 하나의 스칼라로부터 상대론적 동역학을 이끌어낼 수 있다. 다음 내용은 그 유명한 Jackson의 Classical Electrodynamics (3rd. Ed)에서 참조한 내용이다.

사실 모든 액션은 라그랑지안(Lagrangian)의 적분으로 표현이 된다. 다음과 같이.

$S = \displaystyle \int L \, dt$

여기서 적분 범위는 어떤 구간이며, 따로 적진 않겠다. (앞으로 쓸 모든 액션 식에서의 적분에서 그럴 것이다.) 이것은 고전역학에서 잘 맞으며 사실 고전역학에서 입자의 액션을 나타내는 일반적인 식이다. 그런데 상대성 이론을 고려하면 문제가 생긴다. 고전역학에서는 언제나 똑같았던 $t$가 상대성 이론에서는 관성 좌표계를 무엇으로 잡느냐에 따라서 변하기 때문이다. 이것을 해결하기 위한 방법은 두 가지가 있는데, 하나는 나중에 쓸 것이고, 다른 하나는 좌표계에 의존하는 양인 $t$를 시간을 나타내되 좌표계에 의존하지 않는 어떤 물리량으로 교체하는 것이다. 그리고 그 유일한 물리량이 바로 입자의 고유 시간 $\tau$이다. 따라서 점 입자 하나를 나타내는 액션은 다음과 같이 써야 한다.

$S = \displaystyle \int L \, d\tau$

여기서 $L$ 역시 스칼라이어야 한다. 만약 입자가 어떤 상수가 아닌 퍼텐셜에 놓여 있다면, 즉 어떤 힘을 받고 있다면 $L$은 그 퍼텐셜에 대한 정보를 담고 있어야 할 것이며, 따라서 복잡해질 것이다. 여기서는 일단 입자가 힘을 안 받고 있는 상태, 즉 자유 입자(free particle)인 상태라고 하자. 그러면 사실 라그랑지안에 들어갈 수 있는 스칼라는 굉장히 제한적이게 된다. 입자니까 (고유) 길이 같은 것도 없을 것이고 고유 시간의 다항식으로도 나타낼 수 있겠지만 그 중에서도 가장 단순한 것을 꼽자면 라그랑지안이 단순한 상수인 것이다. 그 상수를 $-mc^2$이라고 표기하자. ($c^2$은 사실 상 단위를 맞춰 주기 위해 넣어진 양이다.) 그러면 액션은 $(t, x_1, x_2, x_3)$로 좌표 변수를 잡은 한 관성 좌표계 O에서 다음과 같이 쓸 수 있게 된다.

$S = \displaystyle \int -mc^2 \, d\tau = \int -\gamma^{-1} mc^2 \, dt$

여기서 $\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \left ( \dfrac {|\vec{v}|} {c} \right ) ^2}}$이고, $\vec{v}$는 O와 입자가 정지해 있는 관성 좌표계 간의 속도 차이인데, 이는 곧 O에서 본 입자의 속도이다. 그런데 $\vec{v}_i = \dfrac{dx_i}{dt}$로, 이로부터 오일러-라그랑주 방정식이 각 $i = 1, 2, 3$에 대하여 다음과 같이 써진다는 것을 알 수 있다.

$\dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial}{\partial (dx_i / dt)} (-\gamma^{-1} mc^2) \right) - \dfrac{\partial}{\partial x_i} (-\gamma^{-1} mc^2) = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{1}{2} \gamma m \dfrac{\partial}{\partial v_i} |\vec{v}|^2 \right) = \dfrac{d}{dt} (\gamma mv_i) = 0$

즉, $\gamma m \vec{v}$가 변하지 않는다는 것인데, 우리가 아는 상대론적 운동량이 튀어 나왔다! 더군다나 위 액션 식이 시간의 평행이동에 대해 대칭(불변)이므로 뇌터의 정리를 써서 다음을 알 수 있다.

$\dfrac{d}{dt} \left( \displaystyle \sum_{i = 1}^3 v_i \dfrac{\partial}{\partial v_i} (-\gamma^{-1} mc^2) - (-\gamma^{-1} mc^2) \right) = 0$

또는

$0 = \dfrac{d}{dt} \left(\gamma m \left( \displaystyle \sum_{i = 1}^3 (v_i)^2 \right) - (-\gamma^{-1} mc^2) \right) = \dfrac{d}{dt} [ \gamma m ( |\vec{v}|^2 + (c^2 - |\vec{v}|^2) ) ] = \dfrac{d}{dt} (\gamma mc^2)$

따라서 $\gamma mc^2$ 역시 변하지 않는다는 것을 알 수 있는데, 우리가 아는 상대론적 운동 에너지가 튀어 나왔다! 결국 액션을 스칼라로 올바르게 (최소한으로) 정해 주는 것으로부터 상대론적 역학이 툭 튀어 나온 것이다. 그리고 앞에서 그냥 상수라고 뒀던 $m$가 다름 아닌 질량이라는 것도 얻어냈다.